O que é Limite
Para entender o que é limite, é importante primeiro compreender o conceito de função matemática. Uma função é uma relação entre um conjunto de entrada, chamado domínio, e um conjunto de saída, chamado contra-domínio. O limite de uma função, por sua vez, é um conceito fundamental em cálculo que descreve o comportamento de uma função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.
O limite de uma função f(x) à medida que x se aproxima de um valor a, denotado por lim f(x), é o valor que f(x) se aproxima à medida que x se aproxima de a. Em outras palavras, o limite de uma função descreve o valor para o qual a função tende a se aproximar à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.
Definição Formal de Limite
A definição formal de limite de uma função f(x) à medida que x se aproxima de a é dada pela seguinte expressão matemática:
lim f(x) = L
Isso significa que, para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se 0 < |x – a| < δ, então |f(x) – L| < ε. Em outras palavras, o limite de f(x) à medida que x se aproxima de a é L se, para qualquer ε positivo, existe um δ positivo tal que a diferença entre f(x) e L seja menor que ε sempre que a diferença entre x e a seja menor que δ.
Limites Laterais
Além do limite de uma função à medida que x se aproxima de um valor a, é possível definir limites laterais, que descrevem o comportamento da função à medida que x se aproxima de a por valores maiores ou menores. O limite lateral à direita de f(x) à medida que x se aproxima de a, denotado por lim f(x+), é o valor que f(x) se aproxima à medida que x se aproxima de a por valores maiores que a.
Da mesma forma, o limite lateral à esquerda de f(x) à medida que x se aproxima de a, denotado por lim f(x-), é o valor que f(x) se aproxima à medida que x se aproxima de a por valores menores que a. Os limites laterais são importantes para determinar a existência e o valor do limite de uma função em um determinado ponto.
Limites Infinitos
Além dos limites finitos, é possível que uma função tenha limites infinitos à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor. O limite de uma função f(x) à medida que x se aproxima de a é infinito, denotado por lim f(x) = ∞, se, para todo M > 0, existe um δ > 0 tal que, se 0 < |x – a| M.
Da mesma forma, o limite de uma função f(x) à medida que x se aproxima de a é menos infinito, denotado por lim f(x) = -∞, se, para todo M 0 tal que, se 0 < |x – a| < δ, então f(x) < M. Os limites infinitos são importantes para descrever o comportamento de uma função em pontos de descontinuidade ou assíntotas verticais.
Limites no Infinito
Além dos limites finitos e infinitos em pontos específicos, é possível definir limites no infinito, que descrevem o comportamento de uma função à medida que a variável independente se aproxima do infinito. O limite de uma função f(x) à medida que x se aproxima do infinito, denotado por lim f(x) = L, é o valor que f(x) se aproxima à medida que x cresce sem limites.
Da mesma forma, o limite de uma função f(x) à medida que x se aproxima de menos infinito, denotado por lim f(x) = L, é o valor que f(x) se aproxima à medida que x decresce sem limites. Os limites no infinit
